Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4cm，CD是中線，點E、F同時從點D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動，當(dāng)點E到達(dá)點C時，運(yùn)動停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點 E、F移動過程中，點G移動路線的長度為（　�。�

• A． 2
• B． π
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$π

Answer 1

分析 由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因為∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四點共圓，推出點G的運(yùn)動軌跡為弧CD，利用弧長公式計算即可．

解答 解：如圖，

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ADE=∠CGE=90°，
∴A、C、G、D四點共圓，
∴點G的運(yùn)動軌跡為弧CD，
∵AB=4，AB=$\sqrt{2}$AC，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵DA=DC，OA=OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴點G的運(yùn)動軌跡的長為$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故選D．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、軌跡、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確探究點G的軌跡，屬于中考�？碱}型．