Question

10．在△ABC中，已知DE∥BC，△ABC的內(nèi)切圓與DE、BC分別切于點(diǎn)M、N，BE與CD交于點(diǎn)P，證明：M、N、P三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 如圖1，連接MP并延長交BC于M′，根據(jù)平行線分線段成比例定理得：$\frac{DM}{ME}=\frac{M′C}{BM′}$，
如圖2，連接MN，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，連接OD、OB，證明△ODM∽△BON，得$\frac{DM}{ON}=\frac{OM}{BN}$①，設(shè)⊙O的半徑為r，則DM•BN=r²，同理ME•NC=r²，得$\frac{DM}{ME}=\frac{NC}{BN}$②，由①②M′C=NC，從而得M、N、P三點(diǎn)共線．

解答 解：如圖1，連接MP并延長交BC于M′，
∵BC∥DE，
∴$\frac{DM}{M′C}=\frac{PM}{PM′}=\frac{ME}{BM′}$，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{M′C}{BM′}$，
如圖2，連接MN，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，連接OD、OB，
∵DE∥BC，
∴O在MN上，
∴∠DBO=∠OBN，∠BDO=∠ODM，
∵∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOM+∠BON=90°，
∵M(jìn)、N分別為切點(diǎn)，
∴ON⊥BC，OM⊥DE，
∴∠BNO=∠OMD=90°，
∴∠BON+∠OBN=90°，
∴∠DOM=∠OBN，
∴△ODM∽△BON，
∴$\frac{DM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OM=0N=r，
∴DM•BN=r²，
同理得：ME•NC=r²，
∴DM•BN=ME•NC，
∴$\frac{DM}{NC}=\frac{ME}{BN}$，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{NC}{BN}$，
∴$\frac{M′C}{BM′}=\frac{NC}{BN}$，
∴$\frac{M′C}{BC}=\frac{NC}{BC}$，
∴M′C=NC，
∵M(jìn)′、N、C在同一直線上，
∴M′與N重合，
∴M、N、P三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓及圓心，要熟知三角形的內(nèi)切圓的圓心叫內(nèi)心，是各角平分線的交點(diǎn)；本題證明三點(diǎn)共線，比較抽象；具體作法是：連接兩點(diǎn)，證明第三點(diǎn)也在這條直線上；同時(shí)運(yùn)用了平行線分線段成比例定理及三角形相似對應(yīng)邊成比例得出線段相等．