Question

18．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，過D作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于E，DF⊥AB于F．
（1）求證：DE⊥AE；
（2）若OF=4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC、OD利用垂徑定理可知OD⊥BC，由于DE是⊙O的切線，所以可證BC∥DE，從而可知DE⊥AE；
（2）設(shè)OD與BC交于點(diǎn)G，易證明△DOF≌△BOG，從而可知OF=OG，利用中位線的性質(zhì)即可求出AC的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）連接OC、OD，
∵D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，OD是半徑，
∴OD⊥BC，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠EDO=∠OGC=90°，
∴DE∥BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCA=∠DEC=90°，
∴DE⊥AE；
（2）設(shè)OD與BC交于點(diǎn)G，
∵DF⊥AB
∴∠DFO=90°，
在△DOF與△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠BGO}\\{∠DOF=∠BOG}\\{OD=OB}\end{array}\right.$
∴△DOF≌△BOG（AAS）
∴OF=OG=4，
∵O是AB的中點(diǎn)，OG∥AC，
∴OG是△ABC的中位線，
∴AC=2OG=8

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，中位線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)，綜合程度較高，屬于中等題型．