Question

7．如圖，AD是△ABC的高，∠BAC的平分線AM的延長線交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)E．過點(diǎn)E作⊙O的切線EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若AC=4cm，AB=3cm，AD=2.5cm，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，如圖，利用角平分線的定義得到∠CAE=∠BAE，則$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，根據(jù)垂徑定理的推論得到OE⊥BC，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥EF，所以EF∥BC；
（2）作直徑AH，連接CH，如圖，利用圓周角定理得到∠AHC=90°，∠AEC=∠B，則可證明Rt△AHC∽Rt△ABD，然后利用相似比可計算出AH，從而得到⊙O的半徑長．

解答 （1）證明：連接OE，如圖，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴OE⊥BC，
∵EF為切線，
∴OE⊥EF，
∴EF∥BC；

（2）作直徑AH，連接CH，如圖，
∵AH為直徑，
∴∠AHC=90°，
∵AD為高，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠B，
∴Rt△AHC∽Rt△ABD，
∴AH：AB=AC：AD，即AH：3=4：2.5，解得AH=$\frac{24}{5}$，
∴⊙O的半徑長為$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．