Question

7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=BC，BD是AC邊上的中線，求cot∠DBC．

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=2x，根據(jù)勾股定理求出BC，求出AD=DC=x，∠C=∠ABC=∠EDC=45°，推出DE=CE，解直角三角形求出DE、EC，即可求出答案．

解答 解：如圖：
設(shè)AB=AC=2x，由勾股定理得：BC=$\sqrt{（2x）^{2}+（2x）^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
則AD=DC=x，
過(guò)D作DE⊥BC于E，則∠DEC=90°，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=BC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=CE，
∴DE=EC=DC×sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BE=BC-EC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△BED中，cot∠DBC=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，是一道比較好的題目，難度適中．