Question

1．如圖，⊙0直徑為AB，過半徑0A的中點(diǎn)G作弦CE⊥AB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于F、M．
（1）求∠C0A和△FDM的度數(shù)；
（2）求證：△FOC∽△C0M．

Answer 1

分析 （1）由于CG⊥OA，根據(jù)垂徑定理可得出，弧CA=弧AE，那么根據(jù)圓周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根據(jù)OG是半徑的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
（2）在（1）中我們根據(jù)垂徑定理得出OA是CE的垂直平分線，那么△CMG和△EMG全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠OCM=∠F，因此兩三角形就相似．

解答 （1）解：∵AB為直徑，CE⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$，CG=EG，
在Rt△COG中，
∵OC=OA，OG=$\frac{1}{2}$OA，
∵OG=$\frac{1}{2}$OC，
∴∠OCG=30°，
∴∠COA=60°，
又∵∠CDE的度數(shù)=$\frac{1}{2}$$\widehat{CAE}$的度數(shù)=$\widehat{AC}$的度數(shù)=∠COA的度數(shù)=60°，
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°；

（2）證明：在Rt△CGM和Rt△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{GM=GM}\\{∠CGM=∠EGM}\\{CG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS），
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME，
∴∠CMO=∠DMF，
∵∠COM=∠MDF=120°，
∴∠OCM=∠F，
∵∠COM=∠COF，
∴△FCO∽△COM．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出角相等是解題的關(guān)鍵．