Question

3．已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；
（2）如圖2，若點P在線段AB的中點，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，若點P在線段AB上，連接AC，當(dāng)EP平分∠AEC時，設(shè)AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△APE≌△CFE，可得結(jié)論；
（2）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（3）本題介紹兩種解法：
解法一：分別計算PG和BG的長，利用平行線分線段成比例定理列比例式得：$\frac{PE}{BC}=\frac{PG}{GB}$，即$\frac{a}=\frac{a-b}{2b-a}$，
解得：a=$\sqrt{2}$b，得出a與b的比，再計算GH和BG的長，根據(jù)角平分線的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行線的內(nèi)錯角得：∠AEC=∠ACB=45°．
解法二：同理得a與b的比，根據(jù)a=$\sqrt{2}$b，BE=$\sqrt{2}$BF，得BE=BC，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}\\{∠P=∠F}\\{PE=EF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：
如圖2，∵P為AB的中點，
∴PA=PB，
∵PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）解法一：如圖3，設(shè)CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，
∵PE∥CF，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PG}{GB}$，即$\frac{a}=\frac{a-b}{2b-a}$，
解得：a=$\sqrt{2}$b，
∴a：b=$\sqrt{2}$：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2$\sqrt{2}$b-2b）=（2-$\sqrt{2}$）b，
又∵BG=2b-a=（2-$\sqrt{2}$）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．

解法二：如圖4，連接BE，
易得a=$\sqrt{2}$b，
∴a：b=$\sqrt{2}$：1，
∵BE=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$b，
∴BE=a=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠FBE=∠BCE+∠BEC=45°，
∴∠BCE=22.5°，
∴∠AEC=2∠PEC=2∠BCE=45°．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、角平分線的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，前兩問難度不大，第三問有難度，作輔助線，設(shè)CD=a，PC=b，表示GH和BG的長是關(guān)鍵．