Question

17．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B、C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，連接NB．若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，是否存在t，使MN的長最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，請說明理由；
（3）若對一切x≥0均有ax²+bx+c≤mx-m+13成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)M（t，-t+3），N（t，-t²+2t+3），得出MN是t的二次函數(shù)，即可求出MN的最大值；延長NM交OB于E，證出△BME為等腰直角三角形，求出BE、BM、BN，過點(diǎn)M作△BNM的高M(jìn)H，則∠MHB=∠MHN=90°，設(shè)BH=x，根據(jù)勾股定理求出BH，再由勾股定理求出MH，即可求出sin∠MBN；
（3）令y₁=-x²+2x+3；y₂=mx-m+13，得直線y₂=mx-m+13過點(diǎn)（1，13）；當(dāng)y₁=y₂時，-x²+2x+3=mx-m+13，得出△=m²-36=0，求出m的值，當(dāng)直線y₂=mx-m+13過點(diǎn)C時，m=10，結(jié)合圖象即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}&{\;}\\{9a+3b+c=0}&{\;}\\{c=3}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x²+2x+3；
（2）存在；理由如下：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
設(shè)M（t，-t+3），N（t，-t²+2t+3），
則MN=（-t²+2t+3）-（-t+3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$；
∵-1＜0，
∴MN由最大值，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，MN的最大值為$\frac{9}{4}$；
此時M（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），N（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴MN=$\frac{15}{4}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∵B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
延長NM交OB于E，如圖1所示：
則ME⊥OB，
∴△BME為等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，
∵BE=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
BN=$\sqrt{B{E}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{29}}{4}$；
過點(diǎn)M作△BNM的高M(jìn)H，則∠MHB=∠MHN=90°，
∵M(jìn)H²=BM²-BH²=MN²-NH²，
設(shè)BH=x，則NH=$\frac{3\sqrt{29}}{4}$-x，
∴（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²-x²=（$\frac{9}{4}$）²-（$\frac{3\sqrt{29}}{4}$-x）²，
解得：x=$\frac{21\sqrt{29}}{58}$，
∴BH=$\frac{21\sqrt{29}}{58}$，
∴MH=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{21\sqrt{29}}{58}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{29}}{58}$；
∴sin∠MBN=$\frac{MH}{BM}$=$\frac{3\sqrt{58}}{58}$；
（3）令y₁=-x²+2x+3； y₂=mx-m+13，
∵x=1時，y₂=13，
∴直線y₂=mx-m+13過點(diǎn)（1，13），
當(dāng)y₁=y₂時，-x²+2x+3=mx-m+13，
整理得：x²+（m-2）x-m+10=0，
△=（m-2）²-4×1×（-m+10）=m²-36=0，
解得：m=-6，或m=6，
當(dāng)直線y₂=mx-m+13過點(diǎn)C時，m=10，
由圖象可知（如圖2所示），
當(dāng)-6≤m≤10時，均有y₁≤y₂，
∴m的取值范圍為：-6≤m≤10．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明等腰直角三角形和運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．