Question

19．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AE是⊙O的弦，過點(diǎn)O作⊙O的半徑OD⊥AE于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連BE并延長(zhǎng)，過點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)F，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若OC=3，AE=8，則tan∠DBF=$\frac{1}{2}$；
（3）判斷線段AB、BF、EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）欲證明DF是⊙O的切線，只要證明OD⊥DF即可；
（2）在Rt△BDF中，根據(jù)tan∠DBF=$\frac{DF}{BF}$求解即可；
（3）結(jié)論：AB=EF+BF．作DM⊥AB于M，連接AD、DE．只要證明Rt△BDM≌△BDF，Rt△DMA≌△DFE即可解決問題；

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠F=90°，
∴∠AEB=∠F=90°，
∴AE∥FG，
∵OD⊥AE，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線．

（2）解：∵OD⊥AE，
∴AC=CE=4，∵OA=OB，
∴BE=2OC=6，
在Rt△AOC中，OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠CEF=∠DCE=∠F=90°，
∴四邊形CDFE是矩形，
∴CE=DF=4，CD=EF=2，
∴BF=BE+EF=8，
∴tan∠DBF=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{1}{2}$．

（3）解：結(jié)論：AB=BF+EF．
理由：作DM⊥AB于M，連接AD、DE．
∵OD⊥AE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABD=∠DBF，AD=DE，
∵DM⊥BA，DF⊥BF，
∴DM=DF，
∵BD=BD，
∴Rt△BDM≌△BDF，Rt△DMA≌△DFE，
∴AM=EF，BM=BF，
∴AB=AM+BM=EF+BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．