Question

10．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，其中點B的坐標(biāo)為（1，0），若拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是-1＜k＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．

解答 解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+k}\end{array}\right.$，
消掉y得：x²-x+k=0，
△=b²-4ac=（-1）²-4×1×k=0，
即k=$\frac{1}{4}$時，拋物線與OA有一個交點，
∵點B的坐標(biāo)為（1，0），
∴OA=1，
∴點A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴交點在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點B（1，0）時，1+k=0，
解得k=-1，
∴要使拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數(shù)k的取值范圍是-1＜k＜$\frac{1}{4}$，
故答案為：-1＜k＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．