Question

7．如圖1，已知△ABC的兩個外角平分線DA、DC相交于點D，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
（1）若∠B=80°，則∠ADC=50°．
（2）證明：DE=DF
（3）探究線段AE、AC、CF之間的數量關系．
①如圖2，小王同學探究此問題的方法是：延長CF到點G，使FG=AE，連結DG，由（2）知，DE=DF，從而證明△ADE≌△GDF，再證明△ADC≌△GDC，可得出結論，他的結論應是AC=AE+CF．②你還有其他方法證明①中的結論嗎？請利用“備用圖”說明．
②你還有其他方法證明①中的結論嗎？請利用“備用圖”說明．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內角和定理求出∠CAB+∠ACB的度數，再求出∠DCA+∠DAC的度數即可解決問題；
（2）如圖1中，作DM⊥AC于M．利用角平分線的性質定理即可證明；
（3）①結論：AC=CF+AE；
②如圖1中，作DM⊥AC于M．只要證明Rt△DCF≌Rt△DCA，△DAM≌△DAE，即可解決問題；

解答 解：（1）∵∠B=80°，
∴∠CAB+∠ACB=100°，
∴∠ACF+∠CAE=260°，
∵△ABC的兩個外角平分線DA、DC相交于點D，
∴∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACF，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∴∠DCA+∠DAC=$\frac{1}{2}$（∠DCA+∠DAC）=130°，
∴∠ADC=180°-（∠DCA+∠DAC）=50°．

（2）如圖1中，作DM⊥AC于M．
∵DC平分∠ACF，DF⊥BC，DM⊥CA，
∴DF=DM，
∵DA平分∠CAE，DE⊥BA，DM⊥AC，
∴DE=DM，
∴DE=DM．

（3）①由（2）知，DE=DF，
由△ADC≌△GDC，可得AC=CG，
∴AC=CF+FG=CF+AE，
故答案為AC=AE+CF．

②如圖1中，作DM⊥AC于M．
在Rt△DCF和Rt△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DC}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCF≌Rt△DCA，
∴CF=CM，
在Rt△DAM和Rt△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DA}\\{DE=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAM≌Rt△DAE，
∴AE=AM，
∴AC=AM+CM=AE+CF．

點評 本題考查三角形綜合題、角平分線的性質定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．