Question

6．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)，分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N．
求證：∠BME=∠CNE；（提示：取BD的中點(diǎn)H，連接FH，HE作輔助線）
（2）如圖2，在△ABC中，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線FE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接BD，取DB的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，根據(jù)三角形中位線定理得到EH∥AB，EH=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明；
（2）連接BD，取DB的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，根據(jù)勾股定理、平行線的性質(zhì)計(jì)算．

解答 （1）證明：連接BD，取DB的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，
∵E，H分別是AD，BD的中點(diǎn)，
∴EH∥AB，EH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BME=∠HEF，
∵F，H分別是BC，BD的中點(diǎn)，
∴FH∥CD，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠CNE=∠HFE，
∵AB=CD
∴HE=FH，
∴∠HEF=∠HFE
∴∠BME=∠CNE；

（2）連接BD，取DB的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$CD，F(xiàn)H∥AC，
∴∠HFE=∠FEC=45°，
∵AB=CD=2，
∴HF=HE=1，
∴∠HEF=∠HFE=45°，
∴∠EHF=180°-∠HFE-HEF=90°，
∴$EF=\sqrt{H{E^2}+H{F^2}}=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．