Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）試探究t為何值時(shí)，△BPQ是等腰三角形；
（3）試探究t為何值時(shí)，CP=CQ；
（4）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，BP：BA=BQ：BC；當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，BP：BC=BQ：BA，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；
（2）分三種情況：①當(dāng)PB=PQ時(shí)，如圖1，過P作PH⊥BQ，則BH=$\frac{1}{2}$BQ=4-2t，PB=5t，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BH}{BC}$，即：$\frac{5t}{10}=\frac{4-2t}{8}$解得t=$\frac{2}{3}$，②當(dāng)PB=BQ時(shí)，即5t=8-4t，解得t=$\frac{8}{9}$，③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，則BG=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{5}{2}$t，BQ=8-4t，通過△BGQ∽△ACB，得到比例式$\frac{BG}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，解得：t=$\frac{64}{57}$．
（3）先利用勾股定理表示出CP²，建立方程求解即可求出時(shí)間t；
（4）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm；
分兩種情況討論：
①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得，t=1，
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得，t=$\frac{32}{41}$；
∴t=1或$\frac{32}{41}$時(shí)，△BPQ∽△BCA；
（2）分三種情況：
①當(dāng)PB=PQ時(shí)，如圖1，過P作PH⊥BQ，
則BH=$\frac{1}{2}$BQ=4-2t，PB=5t，
∴PH∥AC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BH}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{4-2t}{8}$解得：t=$\frac{2}{3}$，
②當(dāng)PB=BQ時(shí)，即5t=8-4t，
解得：t=$\frac{8}{9}$，
③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，
則BG=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{5}{2}$t，BQ=8-4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{BQ}{AB}$即$\frac{\frac{5}{2}t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
解得：t=$\frac{64}{57}$．
綜上所述：△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值為：$\frac{2}{3}$或$\frac{8}{9}$或$\frac{64}{57}$．

（3）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，如圖3所示：
則PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，CQ=4t，
根據(jù)勾股定理得，CP²=PM²+MC²=25t²-64t+64，
∵CP=CQ
∴25t²-64t+64=16t²，
∴t=$\frac{64-24\sqrt{2}}{18}$=$\frac{32-12\sqrt{2}}{9}$或t=$\frac{32+12\sqrt{2}}{9}$（舍），
∴CP=CQ時(shí)，t=$\frac{32-12\sqrt{2}}{9}$；
（4）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，如圖3所示
則PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$，
∴$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，解得t=$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．