Question

4．已知函數(shù)的關(guān)系式是L₁：y=kx²+（k-2）x-2
（1）下列說(shuō)法中正確的序號(hào)有②③：
①當(dāng)k=1時(shí)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
②當(dāng)k=2時(shí)，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③無(wú)論k為何非零值，二次函數(shù)都經(jīng)過（-1，0）和（0，-2）；
（2）求證：無(wú)論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（3）已知二次函數(shù)L₁的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為P
①若k＞0，且△ABP為等邊三角形，求k的值；
②若拋物線L₂與拋物線L₁關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且拋物線L₂與x軸交于點(diǎn)C，D，是否存在實(shí)數(shù)k，使以A，B，C，D四點(diǎn)中的其中兩點(diǎn)成為另外兩點(diǎn)之間線段的三等分點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時(shí)，把y=x²-x-2配成頂點(diǎn)式即可對(duì)①解析判斷；
當(dāng)k=2時(shí)，y=2x²-2，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則可對(duì)②解析判斷；
根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)③解析判斷；
（2）分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，原函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x-2，則圖象一定與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，利用判別式的意義可判斷二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，所以無(wú)論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（3）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解方程kx²+（k-2）x-2=0可得A（$\frac{2}{k}$，0），B（-1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2-k}{2k}$，-$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$），
①當(dāng)k＞0時(shí)，AB=$\frac{2}{k}$+1，如圖1，作PE⊥x軸于E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，即$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{2}{k}$+1），解得k₁=-2（舍去），k₂=2$\sqrt{3}$-2，所以k的值為2$\sqrt{3}$-2；
②根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C（-$\frac{2}{k}$，0），D（1，0），所以點(diǎn)B（-1，0），D（1，0）為定點(diǎn)，點(diǎn)A（$\frac{2}{k}$，0），C（-$\frac{2}{k}$，0）為動(dòng)點(diǎn)，然后分類討論：當(dāng)k＞0時(shí)，若點(diǎn)B、D為線段AC的三等份點(diǎn)時(shí)，AC=3CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=3×2；當(dāng)點(diǎn)A、C為線段BD的三等份點(diǎn)時(shí)，AC=$\frac{1}{3}$CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=$\frac{1}{3}$×2，然后分別解關(guān)于k的方程求出k的值；當(dāng)k＜0時(shí)，用同樣的方法求k的值．

解答 （1）解：當(dāng)k=1時(shí)，y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)k=2時(shí)，y=2x²-2，則拋物線的對(duì)稱軸為y軸，所以②正確；
當(dāng)x=-1時(shí)，y=kx²+（k-2）x-2=k-k+2-2=0；當(dāng)x=0時(shí)，y=kx²+（k-2）x-2=-2，所以無(wú)論k為何非零值，二次函數(shù)都經(jīng)過（-1，0）和（0，-2），所以③正確；
故答案為②③；
（2）證明：當(dāng)k=0時(shí)，一次函數(shù)y=-2x-2與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=（k-2）²-4k•（-2）=（k+2）²≥0，此二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，
所以無(wú)論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（3）k≠0，
當(dāng)y=0時(shí)，kx²+（k-2）x-2=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{2}{k}$，
設(shè)A（$\frac{2}{k}$，0），B（-1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2-k}{2k}$，-$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$），
①當(dāng)k＞0時(shí)，AB=$\frac{2}{k}$+1，如圖1，作PE⊥x軸于E，
∵△ABP為等邊三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{2}{k}$+1），
即（k+2）²=2$\sqrt{3}$（k+2），解得k₁=-2（舍去），k₂=2$\sqrt{3}$-2，
∴k的值為2$\sqrt{3}$-2；
②存在實(shí)數(shù)k，使以A，B，C，D四點(diǎn)中的其中兩點(diǎn)成為另外兩點(diǎn)之間線段的三等分點(diǎn)．
∵拋物線L₂與拋物線L₁關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C、D，
∴C（-$\frac{2}{k}$，0），D（1，0），
∴點(diǎn)B（-1，0），D（1，0）為定點(diǎn)，點(diǎn)A（$\frac{2}{k}$，0），C（-$\frac{2}{k}$，0）為動(dòng)點(diǎn)，
A，B，C，D四點(diǎn)中的其中兩點(diǎn)成為另外兩點(diǎn)之間線段的三等分點(diǎn)，
當(dāng)k＞0時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)B、D為線段AC的三等份點(diǎn)時(shí)，AC=3CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=3×2，解得k=$\frac{2}{3}$；
當(dāng)點(diǎn)A、C為線段BD的三等份點(diǎn)時(shí)，AC=$\frac{1}{3}$CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=$\frac{1}{3}$×2，解得k=6；
當(dāng)k＜0時(shí)，同理可得k=-$\frac{2}{3}$或k=-6，
綜上所述，k的值為±$\frac{2}{3}$，±6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；記住關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．