Question

1．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，拋物線與x軸、y軸分別交于點A（-1，0）、B（2，0）、C（0，-2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標；
（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為Q，當點N在線段MB上運動時（點N不與點B、點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）將△OAC補成矩形，將△OAC的兩個頂點成為矩形的一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并利用配方法求頂點M的坐標；
（2）如圖1，先求直線BM的解析式為：y=$\frac{3}{2}$x-3，設(shè)N（h，-t），因為點N在線段MB上運動，所以把點N（h，-t）代入y=$\frac{3}{2}$x-3得：h=2-$\frac{2}{3}$t，其中$\frac{1}{2}$＜h＜2，最后根據(jù)面積和求四邊形NQAC的面積為S，并求出t的取值；
（3）存在，設(shè)點P（m，n），因為點P在拋物線上，則n=m²-m-2，根據(jù)兩點距離公式可得：PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，分三種情況進行討論：若△PAC為直角三角形時，分以下三種情況：①當∠ACP=90°時，②當∠PAC=90°時，③由圖象觀察得，當點P在對稱軸的右側(cè)時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能為90°，分別根據(jù)勾股定理列方程求得m和n的值，寫出P的坐標；
（4）如圖4，根據(jù)A和C的坐標直接得出另一矩形頂點D（-1，-2）；
如圖5，作輔助線，構(gòu)建直角直角三角形，根據(jù)同角的三角函數(shù)先求ON的長，再求DF的長和AF的長，所以O(shè)F=1-AF，得出點D的坐標，同理，在直角△OCE中，根據(jù)面積法先求ME的長，根據(jù)三角函數(shù)列比例式求OM的長，則可以得到E的坐標，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）（x-2），
把（0，-2）代入得：-2=a（0+1）（0-2），
a=1，
∴y=（x+1）（x-2）=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-x-2，頂點M的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）如圖1，設(shè)線段BM的解析式為：y=kx+b，
把B（2，0）、M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{\frac{1}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴線段BM所在的直線解析式為：y=$\frac{3}{2}$x-3，
設(shè)N（h，-t），
把點N（h，-t）代入y=$\frac{3}{2}$x-3得：$\frac{3}{2}$h-3=-t，
h=2-$\frac{2}{3}$t，其中$\frac{1}{2}$＜h＜2，
∴S=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$（2+t）（2-$\frac{2}{3}$t）=-$\frac{1}{3}{t}^{2}$+$\frac{1}{3}$t+3，
則S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-$\frac{1}{3}{t}^{2}$+$\frac{1}{3}$t+3，
∵頂點M的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴QN的最大值為$\frac{9}{4}$，
∴自變量t的取值范圍為0＜t＜$\frac{9}{4}$；
（3）存在，
設(shè)點P（m，n），則n=m²-m-2，
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
若△PAC為直角三角形時，分以下三種情況：
①當∠ACP=90°時，如圖2，則PA²=AC²+PC²，
得（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5，
解得：m₁=0（舍去），m₂=$\frac{3}{2}$，
當m=$\frac{3}{2}$時，n=（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
②當∠PAC=90°時，如圖3，則PC²=PA²+AC²，
得：m²+（n+2）²=（m+1）²+n²+5，
解得：m₁=$\frac{5}{2}$，m₂=-1（舍去），
當m=$\frac{5}{2}$時，n=（$\frac{5}{2}$）²-$\frac{5}{2}$-2=$\frac{7}{4}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
③由圖象觀察得，當點P在對稱軸的右側(cè)時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能為90°，
綜上所述，點P的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
（4）如圖4，矩形ADCO，
∵A（-1，0），C（0，-2）
∴D（-1，-2）
如圖5，矩形ACED，
過D作DF⊥x軸于F，過E作EM⊥y軸于M，過O作ON⊥AC于N，
sin∠OAC=$\frac{ON}{OA}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{ON}{1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴ON=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=ON=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
cos∠ADF=cos∠OAC=$\frac{DF}{AD}=\frac{OA}{AC}$，
∴$\frac{DF}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{2}{5}$，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}-（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴OF=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴D（-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$），
同理得：E（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
綜上所述，矩形的未知的頂點坐標是（-1，-2）或（-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$）
或（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的求法，以及頂點坐標的計算，四邊形面積的計算，矩形的性質(zhì)等，綜合性較強；當一個三角形是直角三角形時，有兩個定點，一個動點，要分三種情況進行討論，分別讓三個頂點為直角頂點時，根據(jù)條件進行計算．