Question

12．△ABC面積為S，AD=DE=EC，BG=GF=FC，AG，AF與BD，BE分別交于M，N，P，Q，連接EF．
（1）證明：EF∥AB；
（2）計算四邊形MNPQ的面積（用含S的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）由AD=DE=EC，BG=GF=FC，可得出$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CF}{CB}$，即可得出EF∥AB；
（2）設(shè)AG與BE交于N，AF與BE交于P，連接NC，ND，PC，PD，設(shè)△NGB的面積為x，△NDE的面積為y，則有△NCG的面積為2x，△NEA的面積為2y，得出△NGB的面積，設(shè)△PCF的面積為u，△PCE的面積為v，得出四邊形PECF的面積是$\frac{1}{6}$S，可求出S_{四邊形NGFP}，設(shè)△ADQ的面積為c，△QBF的面積為d，可得△QBF的面積為$\frac{8}{21}$S，利用以正面積式子可得S_{四邊形MNPQ}=S_△QBF-S_△MGB-S_{四邊形NGFP}，即可求解．

解答 解：（1）如圖，連接EF，

∵AD=DE=EC，BG=GF=FC，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{CF}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF∥AB；
（2）如圖1，設(shè)AG與BE交于N，AF與BE交于P，連接NC，ND，PC，PD，

設(shè)△NGB的面積為x，△NDE的面積為y，則有△NCG的面積為2x，△NEA的面積為2y
∵△ABC的面積是S，且AD=DE=EC，BG=GF=FC，
∴△BCE，△ACF的面積是$\frac{1}{3}$S，△ACG的面積是$\frac{2}{3}$S
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=\frac{1}{3}S}\\{2x+3y=\frac{2}{3}S}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{21}S}\\{y=\frac{4}{21}S}\end{array}\right.$
∴△NGB的面積是$\frac{1}{21}$S，
設(shè)△PCF的面積為u，△PCE的面積為v，則有$\left\{\begin{array}{l}{3u+v=\frac{1}{3}S}\\{u+3v=\frac{1}{3}S}\end{array}\right.$
∴4（uu+v）=$\frac{2}{3}$S，即uu+v=$\frac{1}{6}$S，即四邊形PECF的面積是$\frac{1}{6}$S，
∴S_{四邊形NGFP}=$\frac{1}{3}$S-$\frac{1}{21}$S-$\frac{1}{6}$S=$\frac{5}{42}$S，
如圖2，

設(shè)△MGB的面積為a，△MAD的面積為b，
$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=\frac{2}{3}S}\\{2a+3b=\frac{2}{3}s}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{15}S}\\{b=\frac{2}{15}s}\end{array}\right.$，
∴△MGB的面積為$\frac{2}{15}$S，
如圖3，

設(shè)△ADQ的面積為c，△QBF的面積為d，
$\left\{\begin{array}{l}{3c+\frac{1}{2}d=\frac{1}{3}S}\\{2c+\frac{3}{2}d=\frac{2}{3}S}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{1}{21}S}\\{d=\frac{8}{21}S}\end{array}\right.$，
∴△QBF的面積為$\frac{8}{21}$S，
∴S_{四邊形MNPQ}=S_△QBF-S_△MGB-S_{四邊形NGFP}=$\frac{8}{21}$S-$\frac{2}{15}$S-$\frac{5}{42}$S=$\frac{9}{70}$S．

點評 此題主要考查了面積及等積變換，涉及平行線的判定，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用三角形的面積列出方程組．