Question

14．如圖，將△ABC沿著過AB中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的A₁處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h₁，還原紙片后，再將△ADE沿著過AD中點D₁的直線折疊，使點A落在DE邊上的A₂處，稱為第2次操作，折痕D₁E₁到BC的距離記為h₂；按上述方法不斷操作下去…，經(jīng)過第2017次操作后得到的折痕D₂₀₁₆E₂₀₁₆，到BC的距離記為h₂₀₁₇；若h₁=1，則h₂₀₁₇的值為2-$\frac{1}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)中點的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA₁=DB，從而可得∠ADA₁=2∠B，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得∠ADA₁=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA₁⊥BC，得到AA₁=2，求出h₁=2-1=1，同理h₂=2-$\frac{1}{2}$，h₃=2-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{2}}$，于是經(jīng)過第n次操作后得到的折痕D_n-1E_n-1到BC的距離h_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，據(jù)此求得h₂₀₁₇的值．

解答 解：如圖，連接AA₁．
由折疊的性質(zhì)可得：AA₁⊥DE，DA=DA₁，
又∵D是AB中點，
∴DA=DB，
∴DB=DA₁，
∴∠BA₁D=∠B，
∴∠ADA₁=2∠B，
又∵∠ADA₁=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA₁⊥BC，
∴AA₁=2，
∴h₁=2-1=1，
同理，h₂=2-$\frac{1}{2}$，h₃=2-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{2}}$，…
∴經(jīng)過第n次操作后得到的折痕D_n-1E_n-1到BC的距離h_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴h₂₀₁₇=2-$\frac{1}{{2}^{2016}}$．
故答案為：2-$\frac{1}{{2}^{2016}}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線等分線段定理的綜合應(yīng)用，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．