Question

1．如圖，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且滿足射線BD為∠ABC的平分線，∠ABC+∠ADC=180°，請(qǐng)判斷DE和AC的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 根據(jù)∠ABC+∠ADC=180°，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，得到∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，由射線BD為∠ABC的平分線，得到∠ABD=∠CBD，從而得到∠DAC=∠DCA，即△ADC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一，即可解答．

解答 解：∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠BCD=180°，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，
∵射線BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴△ADC為等腰三角形，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴DE⊥AC（三線合一）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△ADC為等腰三角形．