Question

4．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，若如果P、Q同時出發(fā)：
（1）幾秒鐘后，可使CP=CQ？
（2）幾秒鐘后，可使PQ長為3$\sqrt{5}$cm？
（3）幾秒鐘后，可使四邊形APQB的面積占△ABC的面積三分之二？
（4）若點P從點A出發(fā)沿邊AC-CB方向移動，點Q從C點出發(fā)沿CB-BA方向移動，是否存在某一時刻，使得△PBQ為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據題意用t表示出CP、CQ，根據題意列出方程，解方程即可；
（2）根據勾股定理列出算式，計算即可；
（3）根據三角形的面積公式列式計算；
（4）分QB=QP的兩種情況、BP=BQ根據等腰三角形的性質計算即可．

解答 解：（1）設t秒鐘后，CP=CQ，
由題意得，CP=6-t，CQ=2t，
則6-t=2t，
解得，t=2，
則2秒鐘后，CP=CQ；
（2）由題意得，（6-t）²+（2t）²=（3$\sqrt{5}$）²，
解得，t₁=3，t₂=-$\frac{3}{5}$（舍去），
答：3秒鐘后，PQ長為3$\sqrt{5}$cm；
（3）△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×6×8=24cm²，
∵四邊形APQB的面積占△ABC的面積三分之二，
∴△ACP的面積占△ABC的面積三分之一，
∴$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=$\frac{1}{3}$×24，
解得，t₁=2，t₂=4，
答：2秒或4秒鐘后，可使四邊形APQB的面積占△ABC的面積三分之二；
（4）當QB=QP時，$\sqrt{（6-t）^{2}+（2t）^{2}}$=8-2t，
解得，t₁=-8$\sqrt{2}$-10（舍去），t₂=8$\sqrt{2}$-10，
如圖1，當QB=QP時，作QD⊥BC于D，
則$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{2t-8}{10}$=$\frac{\frac{8-t}{2}}{8}$，
解得，t=$\frac{104}{21}$，
當BP=BQ時，如圖2：
14-t=2t-8，
解得，t=$\frac{22}{3}$，
綜上所述，當t=8$\sqrt{2}$-10或$\frac{104}{21}$或$\frac{22}{3}$時，△PBQ為等腰三角形．

點評 本題考查的是三角形知識的綜合運用，掌握等腰三角形的判定和性質、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．