Question

18．已知：線段CB=6，點A在線段BC上，且CA=2，以AB為直徑做半圓O，點D為半圓O上的動點，以CD為邊向外作等邊△CDE．
發(fā)現(xiàn)：CD的最小值是2，最大值是6，△CBD面積的最大值是6．
思考：如圖1，當線段CD所在直線與半圓O相切時，求弧BD的長．
探究：如圖2，當線段CD與半圓O有兩個公共點D，M時，若CM=DM，求等邊△CDE面積．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：根據(jù)圓的性質(zhì)、三角形的面積公式計算；
思考：連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠C，得到∠BOD，根據(jù)弧長公式計算即可；
探究：根據(jù)切割線定理求出CD，根據(jù)等邊三角形的面積公式計算即可．

解答 解：發(fā)現(xiàn)：當點D與點A重合時，CD最小，CD的最小值是2，
當點D與點B重合時，CD最大，CD的最大值是6，
當OD⊥CB時，CD最小，△CBD的面積最大，最大值為：$\frac{1}{2}$×6×2=6，
故答案為：2；6；6；
思考：連接OD，
∵線段CD所在直線與半圓O相切，
∴OD⊥CD，
∵OC=4，OD=2，
∴∠C=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弧BD的長為：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π；
探究：∵CM=DM，
∴CD=2CM，
由切割線定理得，CM•CD=CA•CB=12，
解得，CM=$\sqrt{6}$，
則CD=2$\sqrt{6}$，
∴等邊△CDE面積為：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$×sin60°=6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是切線的性質(zhì)、弧長的計算、切割線定理的應(yīng)用，作為弧長的計算公式、切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．