Question

6．如圖，“中海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向上，島瞧C上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，已知點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且B、C兩地相距150海里．
（1）求出此時(shí)點(diǎn)A到島礁C的距離；
（2）若“中海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛?cè)ィ��?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A′時(shí)，測得點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，求此時(shí)“中國海監(jiān)50”的航行距離．（注：結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出：∠CBD=30°，BC=150海里，再利用cos30°=$\frac{CD}{AC}$，進(jìn)而求出答案；
（2）根據(jù)題意結(jié)合已知得出當(dāng)點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，則A′B平分∠CBA，進(jìn)而得出等式求出答案．

解答 解：（1）如圖所示：延長BA，過點(diǎn)C作CD⊥BA延長線與點(diǎn)D，
由題意可得：∠CBD=30°，BC=150海里，
則DC=60海里，
故cos30°=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{75}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：AC=50$\sqrt{3}$，
答：點(diǎn)A到島礁C的距離為50$\sqrt{3}$海里；

（2）如圖所示：過點(diǎn)A′作A′N⊥BC于點(diǎn)N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，
則∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
設(shè)AA′=x，則A′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
故CA′=2A′N=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x，
∵$\sqrt{3}$x+x=50$\sqrt{3}$，
∴解得：x=75-25$\sqrt{3}$，
答：此時(shí)“中國海監(jiān)50”的航行距離為（75-25$\sqrt{3}$）海里．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．