Question

12．閱讀理解：運(yùn)用“同一圖形的面積相等”可以證明一些含有線段的等式成立，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC邊上的高為h，點(diǎn)M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到腰AB、AC的距離分別為h₁、h₂，連接AM，利用S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，可以得出結(jié)論：h=h₁+h₂．
類比探究：在圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時，猜想h、h₁、h₂之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
拓展應(yīng)用：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩條直線l₁：y=$\frac{3}{4}$x+3，l₂：y=-3x+3，
若l₂上一點(diǎn)M到l₁的距離是1，試運(yùn)用“閱讀理解”和“類比探究”中獲得的結(jié)論，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 類比探究：結(jié)論：h=h₁-h₂．連接OA．利用三角形面積公式根據(jù)S_△ABC=S_△ABM-S_△ACM，代入化簡即可解決問題．
拓展應(yīng)用：首先證明AB=AC，分兩種情形利用（1）中結(jié)論，列出方程即可解決問題．

解答 解：類比探究：結(jié)論：h=h₁-h₂．
理由：連接OA，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AC•h，
S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•ME=$\frac{1}{2}$AB•h₁，
S_△ACM=$\frac{1}{2}$AC•MF=$\frac{1}{2}$AC•h₂，．
又∵S_△ABC=S_△ABM-S_△ACM，
∴$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AB•h₁-$\frac{1}{2}$AC•h₂．
∵AB=AC，
∴h=h₁-h₂．

拓展應(yīng)用：在y=$\frac{3}{4}$x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
則：A（-4，0），B（0，3），同理求得C（1，0），
OA=4，OB=3，AC=5，
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
所以AB=AC，
即△ABC為等腰三角形．                                    
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
①當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時，由h₁+h₂=h得：
OB=1+y，y=3-1=2，把它代入y=-3x+3中求得：x=$\frac{1}{3}$，
∴M（$\frac{1}{3}$，2）；                                        
②當(dāng)點(diǎn)M在CB延長線上時，由h₁-h₂=h得：
OB=y-1，y=3+1=4，把它代入y=-3x+3中求得：x=-$\frac{1}{3}$，
∴M（-$\frac{1}{3}$，4）．
綜上所述點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，2）或（-$\frac{1}{3}$，4）．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是相交添加常用輔助線，學(xué)會利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考常考題型．