Question

4．如圖，已知，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N分別為AC、BC的中點，點D在BM的延長線上，且BD=2BM，點E在NA延長線上，且EN=2AN．
（1）連接AD，線段AD與線段BC的大小關(guān)系是AD=BC．
（2）證明（1）中的結(jié)論；
（3）求證：BD⊥ED．

Answer 1

分析 （1）連接AD，可得AD=BC；
（2）由BG=2BM，得到BM=DM，再由M為AC中點，得到AM=CM，再由對頂角相等，利用SAS得到三角形ADM與三角形CBM全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（3）延長ED交BC延長線于點F，過D作DG垂直于CF，由EN=2AN，得到A為EN的中點，再由AD與NF平行，得到D為EF中點，即AD為中位線，利用中位線定理得到AD等于NF的一半，利用等量代換得到GF=AM，利用SAS得到三角形ADM與三角形DFG全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠ADB=∠FDG，由∠ADG為直角，利用等量代換及垂直的定義變形即可得證．

解答 解：（1）連接AD，可得AD=BC；
故答案為：AD=BC；
（2）證明：∵BD=2BM，
∴BM=DM，
∵M為AC的中點，
∴AM=CM，
在△ADM和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CM}\\{∠AMD=∠CMB}\\{DM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CBM（SAS），
∴AD=BC；
（3）延長ED交BC的延長線于點F，作DG⊥BF于G，
∵EN=2AN，
∴A為EN的中點，
由（2）得到AD∥BC，
∴D為EF的中點，
∴AD∥NF，且AD=$\frac{1}{2}$NF，
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AC=BC=AD，
∴四邊形ACGD為正方形，
∴AD=CG，
∵AD=$\frac{1}{2}$NF，
∴NC+GF=AD=AC①，
∵NC=$\frac{1}{2}$BC，MC=$\frac{1}{2}$AC，且AC=BC，
∴NC=MC=AM，
∴NC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AD②，
由①②可得GF=$\frac{1}{2}$AD=NC=AM，
在△AMD和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠DAM=∠DGF=90°}\\{AM=GF}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△GFD（SAS），
∴∠ADB=∠FDG，
∵∠ADG=90°，
∴∠FDG+∠ADE=90°，
∴∠ADB+∠ADE=90°，即∠BDE=90°，
則BD⊥ED．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，平行線等分線段定理，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．