Question

13．平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），已知點(diǎn)C為中點(diǎn)，以c為圓心作圓，點(diǎn)B是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF．
（1）當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，求弧AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=$\frac{1}{2}$AO=5，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；
（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF即可．

解答 解：（1）連接BC，
∵A（10，0），
∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的長(zhǎng)=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}$π；

（2）①若D在第一象限，
連接OD，
∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$═8
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{EF}{OE}$，即$\frac{4}{8}=\frac{EF}{6}$，
∴EF=3；
②若D在第二象限，
連接OD，
∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=6
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{OE}$，即$\frac{16}{8}=\frac{EF}{6}$，
∴EF=12；
∴EF=3或12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用．關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)基本條件，圖形的性質(zhì)，分類求解，