Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，以AB為邊作△ABC，使得AC=AB，BC交⊙O于點D，聯(lián)結(jié)OD，過點D作⊙O的切線，交AB延長線于點E，交AC于點F．
（1）求證：OD∥AC；
（2）當(dāng)AB=10，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）若要證明OD∥AC，則可轉(zhuǎn)化為證明∠C=∠ODB即可；
（2）連接AD，首先利用已知條件可求出BD的長，再證明△ODE∽△AFE，利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比值相等即可求出BE的長．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，

（2）連接AD，
∵AB為直徑，
∴AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵AB=10，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=BD=AB•cos∠ABC=2$\sqrt{5}$，
∵DF是圓的切線，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
在Rt△CDF中，cosC=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CF=2．
∴AF=8．
∵OD∥AC，
∴△ODE∽△AFE，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{OD}{AF}$，
∴$\frac{OB+BE}{AB+BE}$=$\frac{OD}{AF}$，
∵OB=OA=OD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴BE=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識和相似三角形的判定和性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．