Question

18．如圖，平行四邊形ABCD中，EF過對角線AC的中點O，且EF⊥AC交CD于E，交AB于F，分別交AD、CB的延長線于M、N．
（1）證明：DM=BN；
（2）連接AE、CF，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AD=CB，AM∥CN，證出∠M=∠N，再由AO=CO，根據(jù)AAS證明△AOM≌△CON，得出AM=CN，即可得出結論；
（2）由ASA證明△AOF≌△COE，得出OF=OE，證出四邊形AECF是平行四邊形，再由對角線互相垂直，即可得出四邊形AECF是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，AM∥CN，AB∥CD，
∴∠M=∠N，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOM=∠CON=90°，AO=CO，
在△AOM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}&{\;}\\{∠AOM=∠CON}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM=CN，
∵AM-AD=CN-CB，
∴DM=BN．
（2）解：四邊形AECF是菱形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ACE=∠CAF，
∵EF垂直平分AC，
∴∠COE=∠AOF=90°，AO=CO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠COE}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠ACE=∠CAF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OF=OE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．