Question

3．某房間的地面由三種正多邊形的地磚鋪成，且每-個頂點處三種正多邊形地磚各有一塊，設(shè)這三種多邊形地磚的邊數(shù)分別是x、y、z，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)這三種正多邊形一個頂點處三個內(nèi)角的度數(shù)之和等于360°，得出$\frac{（x-2）×180°}{x}$+$\frac{（y-2）×180°}{y}$+$\frac{（z-2）×180°}{z}$=360°，再化簡整理即可．

解答 解：設(shè)這三種多邊形地磚的邊數(shù)分別是x、y、z，
∵某房間的地面由三種正多邊形的地磚鋪成，且每-個頂點處三種正多邊形地磚各有一塊，
∴$\frac{（x-2）×180°}{x}$+$\frac{（y-2）×180°}{y}$+$\frac{（z-2）×180°}{z}$=360°，
∴1-$\frac{2}{x}$+1-$\frac{2}{y}$+1-$\frac{2}{z}$=2，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{2}$．

點評 此題主要考查了平面鑲嵌，解決本題的關(guān)鍵是理解多個多邊形鑲嵌的條件是：一個頂點處的內(nèi)角和等于一個周角．