Question

3．如圖，已知AB丄BD，CD丄BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在．請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BP=x，則PD=10-x，由于∠B=∠D，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，則當(dāng)$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{DC}$時，△ABP∽△PDC，即$\frac{9}{10-x}$=$\frac{x}{4}$，當(dāng)$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$時，△ABP∽△CDP，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{10-x}$，然后分別解方程求出x的值即可得到BP的長；
（2）設(shè)BP=x，則PD=12-x，與（1）解答一樣，易得$\frac{9}{12-x}$=$\frac{x}{4}$或$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{12-x}$，然后分別解方程求出x的值即可得到BP的長．

解答 解：（1）存在．
設(shè)BP=x，則PD=10-x，
∵∠B=∠D，
∴當(dāng)$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{DC}$時，△ABP∽△PDC，即$\frac{9}{10-x}$=$\frac{x}{4}$，
整理得x²-10x+36=0，此方程沒有實數(shù)解；
當(dāng)$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$時，△ABP∽△CDP，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{10-x}$，即解得x=$\frac{90}{13}$，
即BP的長為$\frac{19}{13}$；
（2）存在2個P點．
設(shè)BP=x，則PD=12-x，
∵∠B=∠D，
∴當(dāng)$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{DC}$時，△ABP∽△PDC，即$\frac{9}{12-x}$=$\frac{x}{4}$，
整理得x²-12x+36=0，解得x₁=x₂=6；
當(dāng)$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$時，△ABP∽△CDP，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{12-x}$，即解得x=$\frac{108}{13}$，
即BP的長為6或$\frac{108}{13}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．注意分類討論思想的運(yùn)用．