Question

8．如圖，已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-1，m），AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為2．若直線(xiàn)y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象上另一點(diǎn)C（n，-2）．
（1）求直線(xiàn)y=ax+b的解析式；
（2）設(shè)直線(xiàn)y=ax+b與x軸交于點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)．
（3）求直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)A，C與點(diǎn)O圍成的△AOC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與△AOB的面積求出AB的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)y=ax+b的解析式；
（2）根據(jù)直線(xiàn)y=ax+b的解析式，取y=0，求出對(duì)應(yīng)的x的值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求出BM的長(zhǎng)度，在△ABM中利用勾股定理即可求出AM的長(zhǎng)度．
（3）根據(jù)S_△AOC=S_△AOM+S_△COM求得即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，m）在第二象限內(nèi)，
∴AB=m，OB=1，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$AB•BO=2，
即：$\frac{1}{2}$×m×1=2，
解得m=4，
∴A （-1，4），
∵點(diǎn)A （-1，4），在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴4=$\frac{k}{-1}$，
解得k=-4，
∴反比例函數(shù)為y=-$\frac{4}{x}$，
又∵反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)C（n，-2）
∴-2=$\frac{-4}{n}$，
解得n=2，
∴C （2，-2），
∵直線(xiàn)y=ax+b過(guò)點(diǎn)A （-1，4），C （2，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-a+b}\\{-2=2a+b}\end{array}\right.$，
解方程組得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)y=ax+b的解析式為y=-2x+2；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，即-2x+2=0，
解得x=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（1，0），
在Rt△ABM中，
∵AB=4，BM=BO+OM=1+1=2，
由勾股定理得AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）S_△AOC=S_△AOM+S_△COM=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×2=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，三角形面積等，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．