Question

5．如圖所示，已知△PQR是等邊三角形，∠APB=120°．
（1）指出圖中的相似三角形；
（2）若BP=2$\sqrt{7}$，AQ=2，PA=$\sqrt{14}$，求PQ的長(zhǎng)和△PRB的面積．

Answer 1

分析 （1）由△PQR是等邊三角形，∠APB=120°，易證得∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，即可得△APQ∽△PBR，又由∠A是公共角，∠B=∠APQ，即可得△APQ∽△ABP，則可得△APQ∽△PBR∽△ABP．
（2）利用證得的△PAQ∽△BPR，就可得，PA：BP=AQ：PR，則可算出PR、BR的長(zhǎng)，在等邊△PQR中，PR=RQ，可求出它的高，也就是△PRB的高，由此面積也可求．

解答 解：（1）△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．
證明：∵△PQR是等邊三角形，
∴∠PQR=∠QPR=∠PRQ=60°，
∴∠A+∠APQ=∠B+∠BPR=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠APQ+∠BPR=60°，
∴∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，
∴△APQ∽△PBR，
∵∠A是公共角，∠B=∠APQ，
∴△APQ∽△ABP，
∴△APQ∽△PBR∽△ABP．
（2）解：∵△PAQ∽△BPR
∴PA：BP=AQ：PR
即$\sqrt{14}$：2$\sqrt{7}$=2：PR
∴PR=2$\sqrt{2}$，
在等邊△PQR中，PQ=RQ=PR=2$\sqrt{2}$，底邊RQ的高為$\sqrt{6}$，
∴PQ：BR=AQ：PR，即2$\sqrt{2}$：BR=2：2$\sqrt{2}$，BR=4，
∵△PRB的高為等邊△PQR的高，
∴△PRB的面積為$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)以及等量代換的滲透，解題的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用．