Question

19．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，并且OA、OC的長(zhǎng)滿足：|OA-2$\sqrt{3}$|+（OC-6）²=0．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）把△ABC沿AC對(duì)折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處，AB₁與x軸交于點(diǎn)D，求直線BB₁的解析式．
（3）在直線AC上是否存在點(diǎn)P使PB₁+PD的值最��？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P的位置，并求出PB₁+PD的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在直線AC上是否存在點(diǎn)P使|PD-PB|的值最大？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P的位置，并求出|PD-PB|最大值．

Answer 1

分析 （1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得OA和OC的長(zhǎng)，則可得到A、C的坐標(biāo)，再由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AC⊥BB₁，由（1）可知A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線AC的解析式，則可求得直線BB₁的解析式；
（3）由B和B₁關(guān)于直線AC對(duì)稱可知，連接BD與直線AC交于點(diǎn)P，則此時(shí)PD+PB=PD+PB₁，滿足條件；再由折疊的性質(zhì)可證明△AOD≌△CB₁D，在Rt△AOD中可求得OD，則可求得CD長(zhǎng)，在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的長(zhǎng)；
（4）由三角形三邊關(guān)系可知|PD-PB|＜BD，只有當(dāng)P點(diǎn)在線段BD的延長(zhǎng)線或反延長(zhǎng)線上時(shí)，才有|PD-PB|=BD，顯然不存在這樣的點(diǎn)．

解答 解：（1）∵|OA-2$\sqrt{3}$|+（OC-6）²=0．
∴OA=2$\sqrt{3}$，OC=6，
∴A（0，2$\sqrt{3}$），C（6，0），
∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=2$\sqrt{3}$，
∴B（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
由折疊的性質(zhì)可知AC⊥BB₁，
∴可設(shè)直線BB₁的解析式為y=$\sqrt{3}$x+m，
把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$+m，
解得m=-4$\sqrt{3}$，
∴直線BB₁的解析式為y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$；
（3）由（2）可知B和B₁關(guān)于直線AC對(duì)稱，
如圖1，連接BD交AC于點(diǎn)P，

則PB=PB₁，
∴PD+PB=PD+PB₁=BD，
∴此時(shí)PD+PB₁最小，
由折疊的性質(zhì)可知B₁C=BC=OA=2$\sqrt{3}$，∠AOD=∠CB₁D=90°，
在△AOD和△CB₁D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠C{B}_{1}C}\\{∠ADC=∠CD{B}_{1}}\\{AO={B}_{1}C}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△CB₁D（AAS），
∴AD=DC，OD=DB₁，
設(shè)OD=x，則DC=AD=6-x，且OA=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO²+OD²=AD²，即（2$\sqrt{3}$）²+x²=（6-x）²，解得x=2，
∴CD=AD=6-2=4，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
綜上可知存在使PB₁+PD的值最小的點(diǎn)P，PB₁+PD的最小值為2$\sqrt{7}$；
（4）如圖2，連接PB、PD、BD，
當(dāng)p在點(diǎn)A時(shí)|PD-PB|最大，B與B1對(duì)稱，|PD-PB|=|PD-PB₁|，根據(jù)三角形三邊關(guān)系|PD-PB₁|小于或等于DB₁，故|PD-PB₁|的最大值等于DB₁．
∵AB₁=AB=6，
AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=4，
∴DB₁=2，
∴在直線AC上，存在點(diǎn)P使|PD-PB|的值最大，最大值為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中注意非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，在（2）中掌握相互垂直的兩直線的解析式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（4）中注意三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．