Question

8．如圖，在正方形ABCD中，P、Q分別為BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠PAQ=45°，△PCQ的周長(zhǎng)為4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是多少？

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=DQ，如圖，先證明△ABE≌△ADQ得到AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，則∠EAQ=90°，所以∠PAQ=∠EAP=45°，再證明△APE≌△APQ得到PE=PQ，然后利用三角形的周長(zhǎng)可求出BC的長(zhǎng)．

解答 解：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=DQ，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
在△ABE和△ADQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADQ}\\{BE=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADQ，
∴AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∴∠EAQ=∠BAE+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，
∵∠PAQ=45°，
∴∠EAP=45°，
在△APE和△APQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠PAE=∠PAQ}\\{AE=AQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APQ，
∴PE=PQ，
∴PQ=PB+DQ，
∵△PCQ的周長(zhǎng)為4，
∴PQ+PC+CQ=4，
∴PB+DQ+PC+CQ=4，
即BC+DC=4，
∴BC=CD=2，
即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是證明PQ=PB+DQ．