Question

5．已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y（用含x、y的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請(qǐng)寫出DE 與 BF 的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，
①當(dāng)x＜y時(shí)，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y． 
②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．

Answer 1

分析 （1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；
（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；
（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x=30°，進(jìn)而得出x，y的值；
②當(dāng)x=y時(shí)，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)∠DFB不存在．

解答 解：（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y；
故答案為：360°-x-y；

（2）如圖1，延長(zhǎng)DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=$\frac{1}{2}$（x+y），
如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB=180°-y，
得∠FBD+∠FDB=180°-y+$\frac{1}{2}$（x+y）=180°-$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$x，
∴∠DFB=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x=30°，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=140°}\\{\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30°}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=40°}\\{y=100°}\end{array}\right.$；
②當(dāng)x=y時(shí)，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)∠DFB不存在．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．