Question

14．如圖①，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，然后將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接BD，CE，得到圖②，將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N，使DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，得到圖③，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE；
（2）在圖③中，判斷△AMN的形狀，及∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠BAD=∠CAE，證△BAD≌△CAE可得；
（2）由△BAD≌△CAE知∠ABD=∠ACE，BD=CE，結(jié)合DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE可得BM=CN，再證△ABM≌△ACN得AM=AN，∠BAM=∠CAN，即可得證．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
故答案為：BD=CE；

（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC，
由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
又∵DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠ABM=∠ACN}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，即∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴△AMN為等腰三角形，且∠MAN=∠BAC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)所求證確定所需求證的三角形全等是解題的關(guān)鍵．