Question

10．已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點(diǎn)C和D，點(diǎn)P是直線l₃上一動(dòng)點(diǎn)

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAC，∠APB，∠PBD之間存在什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你猜想結(jié)論并說明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合，如圖2和圖3），上述（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作PE∥l₁，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，∠APE=∠PAC，∠BPE=∠PBD，根據(jù)∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，可得∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）根據(jù)（1）的方法，過點(diǎn)P作PE∥l₁，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠APE=∠PAC，∠PBD=∠BPE，圖2中根據(jù)∠APB=∠APE-∠BPE，可得∠PAC=∠APB+∠PBD；圖3中，根據(jù)∠APB=∠BPE-∠APE，可得∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答 解：（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，
如圖1，過點(diǎn)P作PE∥l₁，
∴∠APE=∠PAC，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；


（2）不成立，
如圖2：∠PAC=∠APB+∠PBD，
理由：過點(diǎn)P作PE∥l₁，
∴∠APE=∠PAC，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∵∠APB=∠APE-∠BPE=∠PAC-∠PBD，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD；

如圖3：∠PBD=∠PAC+∠APB，
理由：過點(diǎn)P作PE∥l₁，
∴∠APE=∠PAC，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∵APB=∠BPE-∠APE=∠PBD-∠PAC，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問題的關(guān)鍵是過點(diǎn)P作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角．