Question

12．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，連接AD、BE，F(xiàn)為線段AD的中點，連接CF
（1）如圖1，當點D在BC邊上時，BE與CF的數(shù)量關系是BE=2CF，位置關系是BE⊥CF（不用證明）；
（2）如圖2，把△DEC繞點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），其他條件不變，問（1）中的關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出相應的正確的結論并加以證明；
（3）如圖3，把△DEC繞點C順時針旋轉45°，BE、CD交于點M，若∠DCF=30°，求$\frac{CM}{BM}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定，證明△BCE≌△ACD，然后利用全等三角形的性質，直角三角形的性質，等量代換，即可得出BE=2CF，利用三角形外角定理，等腰三角形性質∠EGF=∠BCF+∠CBE=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，即可得到BE⊥CF；
（2）作輔助線，構建全等三角形，利用旋轉的性質，找出三角形全等的條件，證明△BCE≌ACD′，再利用中位線的性質，等量代換即可得BE=2CF，利用三角形外角定理，等腰三角形性質∠BGF=∠ECG+∠BEC=∠ECG+∠DCF=∠DCE=90°，得BE⊥CF；
（3）利用（2）的結論，利用含30°角直角三角形的性質，銳角三角函數(shù)，即平行線分線段成比例定理即可．

解答 （1）解：BE⊥CF，BE=2CF．
理由：∵等腰直角△ABC，
∴BC=AC，∠BCA=90°，
同理：DC=EC，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
點D為線段AD的中點，∠BCA=90°，
∴CF=AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE=2CF，∠ACF=∠CAD，
∴∠ACF=∠CBE，
設BE與CF交于點G，
則∠EGF=∠BCF+∠CBE=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴BE⊥CF，
故答案為：BE=2CF，BE⊥CF．

（2）解：（1）中的關系仍然成立．
理由：如圖2，延長DC至D′，使CD′=CD，
∵等腰直角△DCE，∴CE=CD=CD′，∠3=∠DCE=90°
同理：BC=AC，∠BCA=90；
∵∠1=∠2=α，
∴∠1+∠DCE=∠2+∠3，∠BCE=∠ACD′，
在△BCE和△ACD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD′}\\{CE=CD′}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌ACD′（SAS），
∵點F為線段AD的中點，CD′=CD，
∴AD′=2CF，CF∥AD′，
∴BE=2CF，∠DCF=∠D′，
∴∠BEC=∠DCF，
∴∠ACF=∠CBE，∠ACF=∠CAD，
設BE與CF交于點G，
則∠BGF=∠ECG+∠BEC=∠ECG+∠DCF=∠DCE=90°，
∴BE⊥CF．

（3）解：設BE與CF交于點G，
∵∠DCE=90°，∠DCF=30°，
∴∠GCE=60°，
∵BE⊥CF，
∴∠MGC=∠EGC=90°，
設MG=x，
在Rt△CMG中，∠DCF=30°，
∴$CM=2x，CG=\sqrt{3}$x．
在Rt△CEG中，∠GCE=60°，
∴CE=2$\sqrt{3}$x，EG=3x，
∴$CD=CE=2\sqrt{3}x$，ME=MG+EG=x+3x=4x，
∴DM=CD-CM=2$\sqrt{3}$x-2x=（2$\sqrt{3}$-2）x，
∵等腰直角△DCE，
∴∠CDE=45°，
∵∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠BCD，
∴DE∥BC，
∴$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{（2\sqrt{3}-2）x}{4x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

點評 本題考查等腰三角形性質，全等三角形性質及判定，直角三角形性質及平行線分線段成比例定理的綜合運用，找出全等條件，構建全等三角形是解決此題的關鍵．