Question

19．已知拋物線l₁：y=a（x-1）²+2的頂點(diǎn)是M，它交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），拋物線l₂與拋物線l₁關(guān)于原點(diǎn)對稱，其頂點(diǎn)是N，交x軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的右邊）．
（1）直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)：（-1，-2）．
（2）若拋物線l₁經(jīng)過原點(diǎn)，求a的值及D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）若A、B、C、D四點(diǎn)從右到左依次排列，且B、C兩點(diǎn)是線段AD的三等分點(diǎn)，求a的值．
（4）在（3）的條件下，將拋物線l₁以每秒1個(gè)單位的速度向左平移，同時(shí)，拋物線l₂以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，當(dāng)B、C兩點(diǎn)再次成為AD的三等分點(diǎn)時(shí)，移動(dòng)停止．
①求移動(dòng)時(shí)間．
②拋物線的移動(dòng)停止后，有一條平行于y軸的直線l：x=m交拋物線l₁于點(diǎn)P，交拋物線l₂于點(diǎn)Q，當(dāng)m為何值時(shí)，PQ的長度等于2？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可解決問題；
（2））因?yàn)閽佄锞�l₁：y=a（x-1）²+2經(jīng)過原點(diǎn)，可得a=-2，推出拋物線l₂的解析式為y=2（x+1）²-2，令y=0，2（x+1）²-2=0，解得x=0或-2，推出D（-2，0），C（0，0）；
（3）由題意可知A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，0），把B（$\frac{1}{2}$，0）代入y=a（x-1）²+2即可解決問題．
（4）①設(shè)t秒后，B、C兩點(diǎn)再次成為AD的三等分點(diǎn)．列出方程即可解決問題．
②如圖，由①可知，拋物線l₁：y=-8（x-$\frac{1}{2}$）²+2，拋物線l₂的解析式為y=8x²-2，由PQ=2，P[m，-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]，Q（m，8m²-2），推出|8m²-2-[-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]|=2，解方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線l₂與拋物線l₁關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴拋物線l₂的頂點(diǎn)N與拋物線l₁關(guān)的頂點(diǎn)M（1，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴N（-1，-2）．
故答案為（-1，-2）；

（2）∵拋物線l₁：y=a（x-1）²+2經(jīng)過原點(diǎn)，
∴0=a+2，
∴a=-2，
∴拋物線l₂的解析式為y=2（x+1）²-2，
令y=0，2（x+1）²-2=0，解得x=0或-2，
∴D（-2，0），C（0，0），
∴a=-2，D（-2，0）；

（3）∵A、B、C、D四點(diǎn)從右到做左依次排列，且B、C兩點(diǎn)是線段AD的三等分點(diǎn)，
又∵拋物線的對稱軸分別為x=-1和x=1，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，0），
把B（$\frac{1}{2}$，0）代入y=a（x-1）²+2得到a=-8，
∴a=-8．

（4）①設(shè)t秒后，B、C兩點(diǎn)再次成為AD的三等分點(diǎn)．
由（2）可知，A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，0），
由題意：此時(shí)CA=$\frac{1}{3}$AD，即2-3t=$\frac{1}{3}$（3-3t），解得t=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$秒時(shí)，B、C兩點(diǎn)再次成為AD的三等分點(diǎn)．

②如圖，由①可知，拋物線l₁：y=-8（x-$\frac{1}{2}$）²+2，拋物線l₂的解析式為y=8x²-2，

∵PQ=2，P[m，-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]，Q（m，8m²-2），
∴|8m²-2-[-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]|=2，
解得m=0或$\frac{1}{2}$或$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、平移變換、中心對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．