Question

9．如圖①，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（2，0）、C（0，-2）三點．直線l：y=m（m＞0）與y軸交于D．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）直線l上是否存在點P，使得以P、O、D為頂點的三角形與△AOC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）如圖②，以點Q（1，3）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑作圓Q．若直線l與拋物線交于E、F兩點，與圓Q交于G、H兩點，且EG+FH=$\frac{3}{2}$GH，試求m的值．

Answer 1

分析 （I）先把A、B、C三點坐標代入拋物線y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值，進而可得出其拋物線方程；
（II）假設存在點P，使得以P、O、D為頂點的三角形與△AOC全等，由已知OA=1，OC=2，D（0，m）（m＞0），設P（p，m）．根據點P在直線l上可知PD⊥OD，∠PDO=∠AOC=90°．再分△PDO≌△AOC，△ODP≌△AOC兩種情況求出P點坐標即可；
（III）過Q作QM⊥GH于M，連接QH，根據EG+FH=$\frac{3}{2}$GH可得出EF的長，故QM=|3-m|，根據垂徑定理可得GH的表達式，當y=x²-x-2=m時求出x的值，故可得出即E，F(xiàn)的坐標，根據兩點間的距離公式求出EF的長，代入①是即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）∵依題意得：$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 4a+2b+c=0\\ c=-2\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\\ c=-2\end{array}\right.$，
∴拋物線方程為y=x²-x-2；

（Ⅱ）假設存在點P，使得以P、O、D為頂點的三角形與△AOC全等，
由已知OA=1，OC=2，D（0，m）（m＞0），設P（p，m）．
∵點P在直線l：y=m上，
∴PD⊥OD，∠PDO=∠AOC=90°．
①若△PDO≌△AOC，
則PD=|p|=OA=1，OD=m=OC=2，
∴P點的坐標為（-1，2）或（1，2）；
②若△ODP≌△AOC，
則PD=|p|=OC=2，OD=m=OA=1．
∴P點的坐標為（-2，1）或（2，1）．
綜上滿足條件的點P存在，其坐標可能為（-2，1）、（-1，2）、（1，2）、（2，1）．

（Ⅲ）過Q作QM⊥GH于M，連接QH，
∵EG+FH=$\frac{3}{2}$GH，
∴EG+GH+FH=$\frac{3}{2}$GH+GH+$\frac{5}{2}$GH，即EF=$\frac{5}{2}$GH①．
∵QM=|3-m|，
由垂徑定理可得GH=2$\sqrt{{QH}^{2}-{QM}^{2}}$=2$\sqrt{2-|3-m{|}^{2}}$=2$\sqrt{6m-7-{m}^{2}}$
當y=x²-x-2=m，
解得x₁=$\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$，
即E（$\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$，m），F(xiàn)（$\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$，m），
∴EF=$\sqrt{4m+9}$（求EF的長用韋達定理也可以）
代入①式得$\sqrt{4m+9}$=$\frac{5}{2}$×2$\sqrt{2-|3-m{|}^{2}}$=5$\sqrt{6m-7-{m}^{2}}$，兩邊平方整理得25m²-146m+184=0，解得m=$\frac{46}{25}$或4．

點評 本題考查的是二次函數綜合題，涉及到待定系數法求二次函數的解析式、全等三角形的判定與性質、垂徑定理及勾股定理等知識，難度適中．