Question

4．若二次函數(shù)y=ax²-2x+c（a＞0），當(dāng)-2≤x≤3時(shí)的最大值等于6，最小值等于-3，a+c=-1或$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 首先對(duì)該二次函數(shù)作出形狀與性質(zhì)的初步判斷，該函數(shù)開(kāi)口向上，求得對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸所在位置進(jìn)行分三種情況分類討論求得．

解答 解：∵拋物線的對(duì)稱軸為x=$\frac{2}{2a}$=$\frac{1}{a}$，
①當(dāng)對(duì)稱軸x=$\frac{1}{a}$在-2≤x≤3上時(shí)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)，y=-3，當(dāng)x=-2時(shí)，y=6或當(dāng)x=3時(shí)，y=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+c}\\{6=4a+4+c}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3=\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+c}\\{6=9a-6+c}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{1}{4}$（舍去），a₂=1，a₃=$\frac{15+\sqrt{189}}{18}$（舍去），x=$\frac{15-\sqrt{189}}{18}$（舍去），
∴a=1，c=-2，
∴a+c=-1；
②對(duì)稱軸x=$\frac{1}{a}$在x＜-2上；
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3，x=3時(shí)，y=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+4+c=-3}\\{9a-6+c=6}\end{array}\right.$
解得a=$\frac{19}{9}$（不合題意，舍去），
③對(duì)稱軸x=$\frac{1}{a}$在x＞3上，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=6，x=3時(shí)，y=-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+4+c=6}\\{9a-6+c=-3}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{5}$，c=$\frac{3}{4}$
∴a+c=$\frac{4}{5}$
故答案為-1或$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值，本題主要考查對(duì)$\frac{1}{a}$與x取值范圍得討論，比較復(fù)雜，有一定難度．