Question

15．如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線AC移動，點Q從點C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線CA移動．
（1）經(jīng)過幾秒，以P，Q，B，D為頂點的四邊形為矩形？
（2）若BC⊥AC垂足為C，求（1）中矩形邊BQ的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，證得四邊形BPDQ為平形四邊形，根據(jù)對角線相等，證得四邊形BPDQ為矩形；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)時間t=7秒時，四邊形BPDQ為矩形．
理由如下：當(dāng)t=7秒時，PA=QC=7，
∵AC=6，
∴CP=AQ=1
∴PQ=BD=8
∵四邊形ABCD為平行四邊形，BD=8
∴AO=CO=3
∴BO=DO=4
∴OQ=OP=4
∴四邊形BPDQ為平形四邊形，
∵PQ=BD=8
∴四邊形BPDQ為矩形，
（2）由（1）得BO=4，CQ=7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA=90°
BC²+CQ²=BQ²
∴BQ=$\sqrt{56}=2\sqrt{14}$．

點評 此題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理得應(yīng)用，動點問題等知識點．