Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．
（1）求證：AB⊥AE．
（2）若點D為AB中點，求證：四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出∠BCD=∠ACE，進而利用SAS得出△CBD≌△CAE求出即可；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ADC=90°，再得出四邊形ADCE是矩形，結(jié)合正方形的判定方法得出即可．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD與△CAE中，∵$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；

（2）證明：∵點D為AB中點，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四邊形ADCE是正方形．

點評 此題主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出∠BCD=∠ACE是解題關(guān)鍵．