Question

15．如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形A′B′C′D′的位置，此時(shí)AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E．若AB=3，則△AEC的面積為（　�。�

• A． 3
• B． 1.5
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進(jìn)而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對(duì)等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長(zhǎng)，即可求出三角形AEC面積．

解答 解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，即AD=$\frac{1}{2}$AC′=$\frac{1}{2}$AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，設(shè)AE=EC=x，則有DE=DC-EC=AB-EC=3-x，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得：x²=（3-x）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得：x=2，
∴EC=2，
則S_△AEC=$\frac{1}{2}$EC•AD=$\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．