Question

14．已知a、b、c均為實數(shù)，滿足a+b+c=0，abc=54，則|a|+|b|+|c|的最小值是12．

Answer 1

分析 由a+b+c=0，abc=54，得到a，b，c中有兩個負數(shù)，一個正數(shù)，不妨設(shè)a＜0，b＜0，c＞0，再由a+b=-c，ab=$\frac{54}{c}$，這樣可以把a，b看作方程x²+cx+$\frac{54}{c}$=0，根據(jù)根的判別式得到△=c²-4•$\frac{54}{c}$≥0，解得c≥2，然后化簡原式得到-a-b+c=2c，即可得到|a|+|b|+|c|的最小值．

解答 解：∵a+b+c=0，abc=54，
∴a，b，c中有兩個負數(shù)，一個正數(shù)，
不妨設(shè)a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b=-c，ab=$\frac{54}{c}$，
∴可以把a，b看作方程x²+cx+$\frac{54}{c}$=0的解，
∴△=c²-4•$\frac{54}{c}$≥0，解得c≥6，
∴原式=-a-b+c=2c≥12，
即|a|+|b|+|c|的最小值為12．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式：如方程有兩個實數(shù)根，則△≥0．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及絕對值的含義．