Question

15．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE=AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N．聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD²=AB•AF，求證：CM•AB=DM•CN．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；
（2）先利用AD²=AB•AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD²=AB•AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，
而CD=AB，
∴CM•AB=DM•CN．

點(diǎn)評 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．