Question

13．如圖，直線y=-2x+7與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、B，與直線y=$\frac{3}{2}$x相交于點(diǎn)A．
（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若在y軸上存在一點(diǎn)P，使△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，6）或（0，$\sqrt{13}$）或（0，-$\sqrt{13}$）；
（3）在直線y=-2x+7上是否存在點(diǎn)Q，使△OAQ的面積等于6？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩直線解析式，解方程即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，在y=-2x+7中分別令x=0和y=0，則可求得B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y），根據(jù)勾股定理可求得OA，且可用y表示出AP、OP的長，分OA=AP和OA=OB兩種情況可分別得到關(guān)于y的方程，可求得y的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，則QD=x，根據(jù)S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ列出關(guān)于x的方程解方程求得即可；②當(dāng)Q點(diǎn)在AC的延長線上時(shí)，作QD⊥x軸于點(diǎn)D，則QD=-y，根據(jù)S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC列出關(guān)于y的方程解方程求得即可．

解答 解：
（1）聯(lián)立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+7}\\{y=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，解得得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3），
在y=-2x+7中，令x=0可得y=7，令y=0可得-2x+7=0，解得x=$\frac{7}{2}$，
∴B（0，7），C（$\frac{7}{2}$，0）；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y），則PA=$\sqrt{{2}^{2}+（3-y）^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}-6y+13}$，PO=|y|，且AO=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形，
∴有PA=OA或PO=OA兩種情況，
①當(dāng)PA=OA時(shí)，即$\sqrt{{y}^{2}-6y+13}$=$\sqrt{13}$，解得y=0或y=6，當(dāng)y=0時(shí)P與O重合，舍去，
∴P（0，6）；
②當(dāng)PO=OA時(shí)，即|y|=$\sqrt{13}$，解得y=$±\sqrt{13}$，
∴P（0，$\sqrt{13}$）或（0，-$\sqrt{13}$），
故答案為：（0，6）或（0，$\sqrt{13}$）或（0，-$\sqrt{13}$）；
（3）存在；
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×3=$\frac{21}{4}$＜6，S_△AOB=$\frac{1}{2}$×7×2=7＞6，
∴Q點(diǎn)有兩個(gè)位置：Q在線段AB上和AC的延長線上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，y），
當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖①，則QD=x，

∴S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ=7-6=1，
∴$\frac{1}{2}$OB•QD=1，即$\frac{1}{2}$×7x=1，
∴x=$\frac{2}{7}$，把x=$\frac{2}{7}$代入y=-2x+7，得y=$\frac{45}{7}$，
∴Q的坐標(biāo)是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$），
當(dāng)Q點(diǎn)在AC的延長線上時(shí)，作QD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖②則QD=-y，

∴S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•QD=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×（-y）=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{7}$，把y=-$\frac{3}{7}$代入y=-2x+7，解得x=$\frac{26}{7}$，
∴Q的坐標(biāo)是（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$），
綜上所述存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$）或（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$）

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象的交點(diǎn)的求法，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出PA和PO是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出Q點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．