Question

3．已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

（1）如圖1，若AB=8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，求S_△BCD；
（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，請(qǐng)寫出線段AB、AD、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，若D、E是AC邊上兩點(diǎn)，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB=∠CEG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形得：S_△BCD=S_△ABD，因此計(jì)算△ABD的面積就是△BCD的面積，代入面積公式計(jì)算即可；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABD≌△EBD，則AB=EB，AD=DE，再證明△DEC是等腰直角三角形，根據(jù)BC=BE+CE可得結(jié)論；
（3）如圖3，作輔助線構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明△ABD≌△CAH，得AD=CH，∠ADB=∠H；得出CE=CH，所以繼續(xù)證明△ECG≌△HCG，得∠CEG=∠H，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=8，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴S_△BCD=S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×8×4=16；             

（2）數(shù)量關(guān)系為：BC=AB+AD．理由如下：
如圖2，過(guò)D作DE⊥BC于E，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BED=∠BAC=90°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=EB，AD=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
又∵∠CED=90°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠C=45°=∠C，
∴CE=DE，
又∵AB=EB，AD=DE，
∴BC=BE+CE=AB+DE=AB+AD；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
又∵∠BAC=90°，
∴∠HCA=∠DAB=90°，
∵∠BAC=90°，AF⊥BD，
∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ABD+∠ADF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
又∵AB=AC，∠HCA=∠DAB，
∴△ABD≌△CAH，
∴AD=CH，∠ADB=∠H．
又∵AD=CE，
∴CH=CE．
∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，
∴∠BCH=∠ACB=45°，
又∵GC=GC，CH=CE，
∴△ECG≌△HCG，
∴∠CEG=∠H，
又∵∠ADB=∠H，
∴∠ADB=∠CEG．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形中線的性質(zhì)，（2）和（3）問(wèn)題的關(guān)鍵是作垂線，構(gòu)建全等三角形，從而使問(wèn)題得以解決．