Question

2．已知拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，頂點為P．
（1）求四邊形OAPC的面積；
（2）判斷△PCA的形狀，并說明埋由；
（3）△COB與△PCA相似嗎？如果相似，請證明：如果不相似，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用坐標軸上，點的特點和頂點坐標公式即可；再用坐標系中幾何圖形的面積計算方法直接計算即可；
（2）用勾股定理逆定理直接判斷即可；
（3）用三邊對應成比例，兩三角形相似判斷即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，
∴A（3，0），B（-1，0），C（0，3），頂點P（1，4），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
∴當x=1時，y=2，
∴S_{四邊形OAPC}=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（4-2）×1+$\frac{1}{2}$（4-2）×2=$\frac{15}{2}$；
（2）由（1）知，A（3，0），C（0，3），P（1，4），
∴AC²=18，AP²=4+16=20，CP²=2，
∴AP²=AC²+CP²，
∴△ACP是直角三角形，
（3）△COB∽△ACP．
證明：由（2）知，AC=3$\sqrt{2}$，AP=2$\sqrt{5}$，CP=$\sqrt{2}$，
由（1）知，B（-1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3，BC=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CP}{OB}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{OC}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，$\frac{AP}{BC}=\sqrt{2}$
∴$\frac{CP}{OB}=\frac{AC}{OC}=\frac{AP}{BC}$，
∴△COB∽△ACP．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，和頂點坐標公式，幾何圖形面積的計算方法，勾股定理逆定理，相似三角形的判定，是一道比較簡單的數(shù)形結(jié)合的題目．