Question

20．如圖，已知AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB，AB，OB，且∠PBA=∠ACB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，若AP=BP，且OP=8，⊙O的半徑是2$\sqrt{2}$，求△OAP的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明PB是切線，只要證明∠PBO=90°即可．
（2）先證明△POB≌△POA，推出∠PAO=∠PBO=90°，推出PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{14}$，根據(jù)S_△POA=$\frac{1}{2}$•OA•PA計(jì)算即可．

解答 解：（1）證明：∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PBA=∠ACB，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠OBA+∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠PBA=90°，
∴∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切線．

（2）在△POB和△POA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△POA，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{14}$，
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$•OA•PA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{14}$=4$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于基礎(chǔ)題中考常考題型．