Question

1．△ABC為等邊三角形．
（1）如圖（1），D、E分別位于AB、AC邊上，AD=CE．連接CD、BE，那么CD和BE相等嗎？說明理由．
（2）如圖（2），如果D、E分別在AB和CA的延長(zhǎng)線上，AD=CE，連接CD、BE，EB的延長(zhǎng)線交CD于Q．求證：∠CQE=60°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形證明△ADC≌△CEB，可得結(jié)論；
（2）同理可證明△CAD≌△BCE，得∠CDA=∠BEC，根據(jù)三角形的外角定理得：∠CQE=∠CAD=60°．

解答 解：（1）如圖（1）CD=BE，理由是：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△ADC和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠A=∠ACB}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴CE=BE；
（2）如圖（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠CAD=∠BCE=60°，
在△CAD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠BEC，
∵∠ABE=∠DBQ，
∴∠DBQ+∠CDA=∠ABE+∠BEC，
∵∠CQE是△BDQ的一個(gè)外角，
∴∠CQE=∠DBQ+∠CDA，
同理可得：∠CAD=∠ABE+∠BEC，
∴∠CQE=∠CAD，
∴∠CQE=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能從圖形中看出證明哪兩個(gè)三角形全等是關(guān)鍵，第（2）個(gè)圖形中的全等關(guān)系不好找，并與外角定理相結(jié)合，證明所求的角與等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角相等，從而得出結(jié)論．