Question

9．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，則點O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于2cm，2cm，2cm．

Answer 1

分析 由角平分線的性質(zhì)易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，設OE=OF=OD=x，則CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，所以6-x+8-x=10，解答即可．

解答 解：連接OB，
∵點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，
∴OE=OF=OD，
又∵OB是公共邊，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD=BF，
同理，AE=AF，CE=CD，
∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，
∴OECD是正方形，
設OE=OF=OD=x，則CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，
∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，
解得x=2．
則OE=OF=OD=2．
即點O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于2，2，2．
故答案為：2cm，2cm，2cm．

點評 此題綜合考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和正方形的判定等知識點，設未知數(shù)，并用未知數(shù)表示各邊是關(guān)鍵．